声音的物理属性

音乐的定义

• 声音：音乐的载体。
• 由振动产生。
• 物体振动引起周围空气的疏密变化，形成声波。
• 声波是纵波。

声音的四个物理属性

• 声音的高低：由振动频率决定，对应于音乐中的音高。
• 声音的强弱：由振动幅度决定，对应于音乐中的力度。
• 声音的响度：由耳朵中鼓膜受到的空气压强决定的。
• 声音的持续的时间长度：对应于音乐中的时值。
• 不同声音的特点：是由其振动波形决定的，对应于音乐中的音色（timbre）。

音高

• 人耳能听到的振动频率范围为$20 \sim 20000$赫兹。
• “音乐会音高”：中央$C$上方的$A$定义为440赫兹。
• 人的听觉对于频率的感知不是线性的。
• 音高是一种听觉属性，借助它可以把声音由低到高排列为一个音阶。

振幅

• 振动体发出声音的强度（客观）由振幅决定。
• 人耳听到声音的大小（主观）由传到耳朵中的空气压强决定。
• 人耳对于空气压力的感觉很灵敏，$f=1000Hz$时，人耳的听觉阈值下限是20微帕（即$2 \times 10^{-5}Pa$）。
• 声压水平：$L_p=20 \ \mathrm{log}_{10}(\frac{p}{p_0})$
• $p_0$是$1000Hz$时的听觉下限阈值，$p$是实际声压，这样定义的单位为分贝。
• 疼痛阈值：$130-140$分贝
• 备注：换底公式重要，考试不许带计算器。
• 声压水平增加10倍，实际声压增大三万多倍。
• 人耳对于不同频率的声音有着不同的听觉下限阈值，先下降后上升，中频的比较容易听出来。

音色与波形

• 不同乐器演奏同一个音高，我们能听出来是因为有不同的音色。
• 不同的音色直观上表现为不同的振动波形，它是由各个振动模态中的频率和振幅决定的。
• 振幅包络：A：起音，D：衰减，S：持续（只有它指振幅，其余指时间），R：释放。

频谱图与泛音列

• 通常听到的声音都是不同频率振动的叠加。
• 频谱图：描述声音各个频率成分随时间变化的图形。
• 横坐标表示时间，纵坐标表示频率。振幅通常用颜色、亮度和灰度表示。
• 泛音列：把各个频率成分由低到高排列起来的序列。

傅立叶级数

• 计算：参见高等数学A（下）
• 傅立叶分析的思想：复杂周期函数可以用若干简单正余弦函数叠加。
• 推广到物理：复杂振动可以由不同频率正余弦振动产生。
• 两种视角：
  • 把一个振动描绘成随时间变化的图形，显示的是振动在其时域上的特性。
  • 把该振动在不同频率上的振幅描绘出来，显示的是其在频域上的特性。

乐音体系

• 声音可以分为乐音和噪音两大类。
• 乐音：持续有规律的振动产生的声音。
• 噪音：无规律、起伏不定的振动产生的声音。
• 传统音乐主要使用乐音。
• 二十世纪以来，音乐家越来越重视噪音的应用。例如打击乐器，包括固定音高的木琴、定音鼓等，以及无固定音高的小军鼓、大擦等。

乐音体系

• 乐音体系：音乐中所使用的、具有固定音高的全体乐音构成一个集合。其中的元素称作音级。
• 音列：将全体音级由低到高排列。
• 相邻两个音级之间相差一个半音，钢琴键盘上任意两个相邻的琴键相差一个半音，隔开一个键的两个琴键的声音相差一个全音。
• 音名：每个音级有一个名字。
• 基本音名有七个，$C,D,E,F,G,A,B$。
• 在每一个八度中，相应位置的音循环使用这七个音名，为了区分加上下标，即$C_1 \sim C_8$。
• 基本音级：$C,D,E,F,G,A,B$。
• 变化音级：将基本音级加以升高或降低，记号是在基本音级字母的前面增加变音记号。
  • 升号：$\sharp$，把基本音级升高半音。
  • 降号：$\flat$，把基本音级降低半音。
  • 重升号：𝄪，把基本音级升高一个全音。
  • 重降号：$\flat \flat$，把基本音级降低一个全音。
  • 还原号：$\natural$，把已升高（包括重升）或者降低（包括重降）的音还原为基本音级。

异名同音

• 因为有变音记号，一个音级可以有不同的音名。
• 两个不同的音名，若它们有相同的音高，称为等音。

唱名法

• 唱名法/阶名唱法：给音阶中每个音级赋予不同的音节。
• 现在流行的唱名据传是由意大利音乐理论家引入的。
• 现在通常的唱名：$do \ re \ mi \ fa \ sol \ la \ si$，它们构成了完整的自然音阶。
• $mi \ fa$之间和$si \ do$之间是半音，其它之间是全音。
• 唱名有两种不同的用法，固定唱名和首调唱名。
• 固定唱名法：从$do \rightarrow si$，即$C \rightarrow B$，在钢琴键盘上的位置是固定的。
• 首调唱名法/移动唱名法：do可以是任意一个音级（包括变化音级），上面的规则不变（唱名之间的半音和全音）。
• 这也是五线谱上$D$大调的调号是两个升号$\sharp$的原因。
• 同理，在五线谱上，$\flat E$大调的调号是三个降号$\flat$。

记谱法

• 记谱法：以书面的形式将音乐记录下来的方法。
• 比较早的乐谱：楔形文字、《礼记 $\cdot$ 投壶》
• 中国最早的乐谱：南北朝时期《碣石调 $\cdot$ 幽兰》，这是一种文字谱（一句一句描述弹法）。
• 之后出现了减字谱（将古琴的指法与弦序等结合）。
• 目前普遍采用五线谱，水平表示时间，垂直表示音高，可以多加线。

水平方向：时间

• 用不同的音符表示乐音的不同长度，音符由符头、符干和符尾组成。
• 音符代表的是相对长度。比如假定以四分音符为一拍等等。
• 附点音符：原来音符的时值 $\times \frac{3}{2}$
• 休止符：注意区分全休止与二分休止，全休止紧靠第二条线，二分休止紧靠第三条线。
• 绝对时值：速度。
• 例如𝅘𝅥$=60$，即表示每分钟奏唱60个四分音符，1秒钟1个四分音符。
• 如果乐曲是3/4拍的，即以四分音符为一拍，每小节有3拍，则3秒钟要演奏一个小节。

垂直方向：音高

• 五线谱中，音的高低是根据音符的符头在五线谱上的位置而定的。
• 位置越高音越高，位置越低音越低。
• 某一条线代表哪个音，需要通过谱号来确定，常用的有高音谱号、低音谱号和中音谱号。
• 高音谱号/G谱号：大圆圈位于二线，指明中央$C$上方纯五度的音级$G_4$的位置。
• 中音谱号/C谱号：中心位于三线，指明中央$C(C_4)$的位置。
• 次中音谱号：其余同中音谱号，中心置于四线。
• 低音谱号/F谱号：冒号的中心位于四线，指明中央$C$下方纯五度音级$F_3$所在的位置。

谱表

• 谱表：记有谱号的五线谱，分为单谱表和联合谱表。
• 单谱表：高/中/次中/低音谱表等。
• 联合谱表：用连谱号连接起来的谱表
• 例如，由花括号联结的高音谱表和低音谱表构成大谱表，通常用于钢琴记谱。
• 合唱谱、总谱等都是联合谱表。

变音记号

• 调号：乐谱每一行开始处，记在谱号后面的变音记号。
• 调号中的变音记号，在未改变调号之前，对乐谱中所有同名音，不论哪个八度都有效。
• 临时变音记号：记在音符符头前面的变音记号。
  • 作用范围：变音记号之后，一小节之内，同高度的音。
  • 加变音记号的音用延音线连结起来到下一小节的继续有效。
  • 同一小节内已升高或降低了的音有改变时，应另记变音记号。

简谱记法

• 用$1 \sim 7$对应$do \sim si$七个唱名。
• $0$表示休止符。
• 在符号上加点表示升高八度，下加点表示降低八度。
• 时值用横线表示，单个数字表示四分音符。
• 在后面加一条横线，时值延长一倍。
• 在数字下加一条横线，时值缩短一半。
• 通常采用首调唱名法，例如在曲谱前记$1=\flat B$。

音程

定义

• 音程：在乐音体系中，两个音级之间的距离。
• 上方音/冠音：高的音。
• 下方音/根音：低的音。
• 旋律音程：两个音先后发声。
• 和声音程：两个音同时发声。
• 音程的名称由两个参数共同决定：度数和半音数
• 度数：一个音级到另一个音级之间的音名数目，五线谱上就是两个音级包括的线和间的数目。
• 半音数：音程所包含半音的数目。
• 例如，$D-F$称为小三度(其半音数为3)，$F-A$称为大三度(其半音数为4)。
• 因此，度数相同的情况下，半音的数目也可以不同。

半音数的分类

• 一度音程：半音数为0的称为纯一度。
• 二度音程：半音数为1的称为小二度，半音数为2的称为大二度。
• 三度音程：半音数为3的称为小三度，半音数为4的称为大三度。
• 四度音程：半音数为5的称为纯四度，半音数为6的称为增四度。增四度也称为三全音。
• 五度音程：半音数为7的称为纯五度，半音数为6的称为减五度。(这里要注意减五度和增四度)。
• 六度音程：半音数为8的称为小六度，半音数为9的称为大六度。
• 七度音程：半音数为10的称为小七度，半音数为11的称为大七度。
• 八度音程：半音数为12的称为纯八度。

自然音程与变化音程

• 自然音程：上述音程。
• 变化音程：从自然音程中，改变半音数。升高根音或者降低冠音，可以减少半音数；降低根音或者升高冠音，可以增加半音数。
• 大音程和纯音程增加1个半音数，得到的是增音程，例如增二度。
• 小音程和纯音程减少1个半音数，得到的是减音程，例如减七度。

协和音程与不协和音程

通常看法

• 协和音程：纯四度、纯五度、纯八度、大小三度、大小六度。
  • 完全协和音程：纯音程，即纯四度、纯五度、纯八度。
  • 不完全协和音程：大小三度、大小六度。
• 不协和音程：二度、七度和其它所有增减音程。

相关理论

毕达哥拉斯理论

• 长度成简单整数比的弦能发出和谐的声音。
• 换言之声音的振动频率之比越简单（分数化），相应的音程越协和。
• 这个理论被称为简谐比例律。

赫尔姆霍兹拍音理论

• 按照十二平均律，以$A_4=440Hz$为标准。
• 假设一个声音的频率为$\omega$，另一个声音为$\omega+\delta$。
• 它们的叠加为$\sin(2\pi(\omega+\delta)t)+\sin(2\pi \omega t)=2\cos(\pi \delta t)\sin(2\pi (\omega+\frac{\delta}{2})t)$。
• 产生了一个频率为$\omega+\frac{\delta}{2}$的声音，音量（振幅）受到$\cos(\pi \delta t)$的绝对值控制，以$\delta$为频率在不断变化。
• 使得人们听上去有拍音的感觉，每秒钟产生的拍音数量为$\delta$。
• 频率为$\omega_1$和$\omega_2$的两个声音叠加，每秒钟产生的拍音数为$\delta=|\omega_1-\omega_2|$。
• 他的观点：两个音之间不含拍音的为协和音程，含有拍音的为不协和音程。
• 实际上：每秒少于6个拍音或多于120个拍音的也算协和音程。每秒含33个拍音的音程最不协和。
• 缺陷：相同音程，协和度在不同音区中会发生变化。因为每升高一个八度，拍音数量会增加一倍。
• 缺陷：当两个声音都是复音时，情况更复杂。

心理学实验

• 给没有接受音乐训练的被试同时播放两个不同音高的声音，问听到一个还是两个声音。
• 更和谐的音乐倾向于听到一个声音，反之不和谐的音乐倾向于听到两个声音。
• 另一个心理学实验：
  • 考虑作出判断的反应时间。
  • 刺激源引入包含泛音的复音。
  • 考虑不同律制的音程。
• 由于音程是否协和带有一定主观性，对于不同民族、文化的人群，难以下科学定义。
• 例如广西的民间合唱往往使用大二度音程，因此对他们而言其也算一个协和的音程。

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