乐音体系的生成

• 乐音体系是有限多个音级组成的集合，这个集合中的元素是如何确定的？
• 这就是律学要解决的问题：
  • 确定绝对音高，就是要确定每个音级对应的振动频率。
  • 确定同一个八度内不同音级的相对音高。
• 一定意义上说，相对音高更为重要。
• 因为八度音程对应的频率比为$1:2$，如果同一个八度内的12个音级之间的频率比值确定，那么确定任意一个音级的振动频率，这个八度内其他音级的频率就随之确定。然后可以得到其他八度内各个音级对应的振动频率。

三分损益

• 在春秋时期《管子》一书"地员"篇中记载。
• 首先，计算初始值，即宫音，$3^4=81$。
• 对宫音增加三分之一，即徵音，$81 \times \frac{4}{3}=108$。
• 对徽音减少三分之一，即商音，$108 \times \frac{2}{3}=72$。
• 对商音增加三分之一，即羽音，$72 \times \frac{4}{3}=96$。
• 对羽音减少三分之一，即角音，$96 \times \frac{2}{3}=64$。
• 由于弦的长度与发声频率成反比，所以数字越大的音级频率越低，把徵音和羽音分别除以2，得到高八度的两个音级。
• 整理得到以下音列：

• 假设宫音对应中央$C$，得到五声音阶$C,D,E,G,A$。

• 徵音与宫音的频率比为$4:3$，符合理想纯四度的简单整数比。

• 宫音与高八度的徵音频率比为$3:2$，符合理想纯五度的简单整数比。

• 但是宫音与角音的频率比为$81:64$，不符合理想大三度的简单整数比。

• 对角音继续做三分损益，得到变宫音$64 \times \frac{4}{3}=\frac{256}{3} \approx 85$和变徵音$\frac{256}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{512}{9} \approx 87$。

• 整理得到新的音列

• 古代以清浊形容音的高低，清宫就是比宫音高八度的音级，假设宫音为中央$C$，则三分损益法得到的七声音阶为

• 这就是传统音乐中的雅乐音阶，亦称为古音阶。

十二律

• 战国时期，《吕氏春秋》提出了十二律的名称和相生关系。
• 本质上是对七声音阶的拓展。

• 把十二律对应的数值从大到小（音高从低到高）排列，它与五音的联系如下：

• 得到$\sharp E$对应的数值后，继续做三分损益，得到它上方纯五度的$\sharp B$，其数值为$\frac{2^{17}}{3^7} \times \frac{2}{3}=\frac{2^{18}}{3^8}$
• 在现代律制中，$\sharp B$与高八度的$C’$等音，但实际上十二律会现代律制比略低，即旋宫不归。

五度相生

• 毕达哥拉斯假设中央$C$对应的频率为1，其上方五度的$G$对应的频率为$\frac{3}{2}$。
• 而$G$上方五度音的频率应该是$\frac{9}{4}>2$，超出同一个八度，因此降低一个八度，得到$D$对应的频率为$\frac{9}{8}$。
• 以此类推，产生全部十二个音名，完整的五度相生音阶。

• 纯五度和纯四度的音程频率都符合理想整数比，大三度频率，如$C \sim E$，其频率比为$\frac{81}{64} > \frac{5}{4}$，出现一定偏差。
• 得到音级$\sharp E$后，可以接着考虑其上方纯五度音的频率，$\frac{3^{11}}{2^{17}} \times \frac{3}{2}=\frac{3^{12}}{2^{18}}>2$。
• 将其降低八度，得到其频率为$\frac{3^{12}}{2^{19}} \approx 1.01 >1$。
• 按照现代律制，$\sharp E$上方五度应该是 $\sharp B$ ，降低八度后应该得到$C$，即上述式子应该等于1。
• 这就是著名的毕达哥拉斯音差。
• 单声音乐：单音曲调构成的音乐，包括没有伴奏的独唱、独奏，以及曲调作同度或八度重叠的齐唱、齐奏。
• 通常合唱比赛的都是齐唱，而非合唱，因为男女声部不算分声部。
• 多声部音乐：
  • 公元9世纪前后出现奥尔加农音乐样式，是多声部音乐的雏形。
  • 可以分为复调音乐和主调音乐。
  • 复调音乐：不同声部具有各自的相对独立性，按照对位法结合在一起。
  • 主调音乐：以一个声部为主要旋律声部，其余声部相对缺少独立性，对主要旋律起伴奏、烘托作用。
  • 里切卡尔/无差部赋格：16-17世纪的一种复调器乐曲。
  • 17世纪后出现了贯穿主题模仿的里切卡尔，结构近似赋格。
  • 巴赫《音乐的奉献》中有一首六声部里切卡尔。
  • 复调音乐如今不多见，常见的为主调音乐，如《军队进行曲》。
  • 也可以在音乐中同时使用主调和复调，如贺绿汀《牧童短笛》。

纯律

• 文艺复兴开始，西方音乐越来越重视使用三度和六度音程。
• 纯律：在五度相生法中添加一个生律元素，理想大三度的比例 5:4，形成纯律。
• 据传为意大利音乐理论家扎利诺提出。
• 在纯律中， $E$ 的音高为 $\frac{5}{4}$，由于$E$和$B$形成纯五度，因此$B$的音高为 $\frac{15}{8}$。
• 又$F$和高音$C$构成纯五度音，因此$F$的音高为 $\frac{4}{3}$。
• 而$F$和$A$构成大三度音，因此$A$的音高为 $\frac{5}{3}$。
• 于是，正三和弦 $C-E-G,F-A-C’,G-B-D’$都符合理想整数比$4:5:6$，对于多声部音乐有重要意义。
• 纯律也有不足之处，即五度音程$D-A$不协和，其比例为$\frac{5}{3}:\frac{9}{8}=\frac{40}{27}<\frac{3}{2}$，比理想的纯五度窄。
• 同时，有两种不同的大二度(全音)，音程$C-D,F-G,A-B$的比例为 $\frac{9}{8}$，而音程$D-E,G_A$的比例为 $\frac{10}{9}$。
• 存在音差(Comma)问题，从$C$出发升高4个纯五度，再降低两个八度和一个大三度，得到 $(\frac{3}{2})^4 \times (\frac{1}{2})^2 \times \frac{4}{5}=\frac{81}{80}$，即回到比$C$高一点的地方，这个数值被称为谐调音差(Syntonic Comma)。
• 存在转调问题。例如《保卫黄河》，《青花瓷》。
• 例如，对于$1=C$调好的音阶，要转为$1=D$，则其上方纯五度为$A$，其比例为 $\frac{5}{3} \times \frac{8}{9}=\frac{40}{27}<\frac{3}{2}$

• 三分损益、五度相生和纯律都发挥过重要作用，但它们都存在缺陷。
• 我国出现过六十律、新律、三百六十律、十八律等律法。

中庸全音律

• 假定音名$C$的频率为$f$，则高八度$C’$的频率为$2f$，再高一个八度的$C’’$对应频率为 $4f$。
• 如果$C$上方五度的频率为 $\frac{3}{2}f$，则再高一个八度对应频率为 $(\frac{3}{2})^2 f$
• 经过 $n$ 次后，希望能有比 $C$ 高 $m$ 个八度的音级，对应频率满足 $(\frac{3}{2})^n \cdot f=2^m \cdot f$
• 即 $3^n=2^{m+n}$，易见不可能成立，即有理数范围内无法调好律。
• 回顾第一次数学危机，毕达哥拉斯学派是否认无理数的(他的学生希帕索斯发现无理数)。
• 于是，目标变为消除音差，通过牺牲纯五度的比例 $3:2$。
• 需要想办法将音差分配给不同的音级，新律实现了这种平均。
• 但是音程关系是频率的比值，对应于乘除而非加减，因此无法用算术平均解决问题。
• 假设 $a=\frac{81}{80}$ 为谐调音差，则其 $\frac{1}{4}$ 应该等于 $d=\sqrt[4]{a}$。
• 于是，得到缩小 $\frac{1}{4}$ 谐调音差后的纯五度音程比值为 $\frac{3}{2} \div \sqrt[4]{\frac{81}{80}}=\frac{3}{2} \times \frac{2\sqrt[4]{5}}{3}=\sqrt[4]{5}$ 。
• 再考虑 $F$ ，由于其上方五度的音级 $C’$ 与 $F$ 的比值应该等于生律元素 $\sqrt[4]{5}$，解得 $F$ 的音级为 $\frac{2\cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}$。
• 于是得到7个自然音级对应的数值：

• 这就是中庸全音律。
• 有区分自然律和人工律，自然律就是泛音列，其音级都是有理数；而无理数一定是人工律。
• 纯律中有两种不同的大二度（全音），即 $C-D$ 和 $D-E$，它们的几何平均恰为中庸全音律中 $D$ 的值。
• 这说明了中庸全音律不仅保持了大三度音程的理想比例，又使得大二度音程的频率比相等。
• 计算小二度（半音） $B-C’$ 和 $E-F$ 的频率比，它们是相同的。但是两个小二度叠加，得到的频率比略大于一个全音。
• 中庸全音律消除了谐调音差，各个全音音程和各个半音音程一致，大小三度和大小六度都合于纯律，并且能在一定范围内转调，这是它的优点。
• 它牺牲了纯五度的理想比例，纯五度音程 $C-G$ 的比例等于 $\sqrt[4]{5}<\frac{3}{2}$，经过多次五度相生会产生与纯五度相差极大的五度音程，历史上称为狼五度。

平均律

• 设一个八度之间有12个半音，则相应的音级对应的频率构成一个等比数列，计算出其公比为 $r=\sqrt[12]{2}$，这就构成了十二平均律。
• 世界上第一个通过准确计算提出平均律的人是朱载堉，他把自己提出的平均律称为新法密率，并且精确到了小数点后25位。
• 巴赫的《音乐的奉献》基于"国王主题"，包括两首无插入赋格，有一首是六声部的，还有十首卡农和一首以长笛为特色的三重奏奏鸣曲。
• 十首卡农中有一首"canon per tonos"，意为"经由种种调性的卡农"。
• 它有三个声部，不断变调后又回到最初的 $C$ 小调。

音分

• 是度量不同声音的频率之比的单位，设两个声音的频率分别为 $f_1<f_2$ ，则两个声音之间的音分数是 $1200\log_{2} (\frac{f_2}{f_1})$。
• 对于平均律，则半音之间的音分是100音分。
• 同样，有音分可以求频率比， $r=2^{\frac{c}{1200}}$
• 将音级 $C$ 的频率记为 $f$，则 $G$ 的频率应该是 $2^{\frac{7}{12}} \approx 1.4983f$
• 普通人通常能分辨出 $4 \sim 6$ 音分的频率差。
• 对比平均律和纯律的音高，可以发现 $E$ 和 $A$ 分别高出了14音分和16音分，差距较大。
• 八度循环 $2:1$，五度纯正 $3:2$，和弦协和 $5:4$，这三个比例一直推动着人们进行不停探索，它们也被称为三条彩线。
• 上面提到的都是相对音高，历史上没有标准的绝对音高。
• 人们倾向于不断提高音高，主观上作曲家、演奏家和乐器制造者都追求用明亮、华丽的音色吸引听众，材料和制造技术的进步为提高绝对音高提供了客观可能性。
• 1939年国际标准化协会(ISA)确立 $A=440 \mathrm{Hz}$ 为音乐会音高。
• MIDI(Musical Instrument Digital Interface)：乐器数字接口。
• 它用音符数 $21 \sim 108$ 代表 $A_0 \sim C_8$ 这88个音级。
• 若采用十二平均律和音乐会音高标准，则音符数 $n$ 对应的频率 $f$ 可以这样求出： $f=440 \cdot 2^{\frac{n-69}{12}}$

思考题

• 纯律中各自然音级之间的频率比能够唯一确定吗？
• 纯律中，各自然音级之间的频率比并不能唯一确定。例如 $A$ 的频率，我们先用高音 $C$ 推出 $F$ 的频率为 $4:3$，然后再通过大三度音得到 $A$ 的频率为 $5:3$。若通过 $D-A$ 构成纯五度音，推出 $A$ 的频率应该为 $27:16$。因此，纯律中的频率比并不唯一缺点。计算的方式不同，结果也不尽相同。
• 在纯律中，确定了各自然音级之间的频率比后，如何进一步确定变化音级的频率？
• 首先根据 $B$ 的频率 $15:8$ 推出 $\sharp F$ 的频率 $16:15$。
• 根据 $\sharp F$ 跟高八度的 $\sharp C$ 构成纯五度音，推出 $\sharp C$ 的频率 $16:15$。
• 根据 $\sharp C$ 和 $\sharp G$ 构成纯五度音，得到 $\sharp G$ 的频率 $8:5$。
• $\sharp G$ 和高八度的 $\sharp D$ 构成纯五度音，得到 $\sharp D$ 的频率 $6:5$。
• 最后根据 $\sharp D$ 和 $\sharp A$ 构成纯五度音，得到 $\sharp A$ 的频率为 $9:5$，这样得到了完整的七声音阶。
• 在实际演奏中，小提琴、二胡等弓弦乐器通常依照哪种律制确定其空弦的音高？
• 小提琴依据十二平均律确定，二胡依据五度相生确定。

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